Codage de l'information

Le processeur d'un ordinateur personnel d'aujourd'hui est capable de manipuler des nombres binaires sur 64 bits, et les cartes graphiques peuvent manipuler des nombres binaires allant jusqu'à 256 bits. Le plus grand nombre binaire sur 64 bits s'écrit: 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111.

Pour des raisons de commodité de lecture et d'écriture des nombres, les informaticiens ont inventés l'hexadécimal. C'est un système de numération qui utilise 16 symboles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Bien que très utile dans la programmation en assembleur, qui est le langage le plus proche de la machine, l'hexadécimal a une utilisation plus modérée en programmation, notamment grâce aux compilateurs modernes. On le rencontre encore dans quelques cas en informatique:

Pour définir les couleurs d'une page web.
Pour représenter l'adresse physique (MAC) d'une carte réseau d'un ordinateur.
Pour repérer une position, dans la mémoire de l'ordinateur, où il y a eu un problème.

Si on utilise un nombre à trois chiffres hexadécimaux pour compter, en omettant certaines parties (lignes contenant des pointillés) qui peuvent être retrouver par la logique du comptage, cela donne:

hexadécimal			décimal
0	0	0	0
0	0	1	1
0	0	2	2
0	0	3	3
0	0	4	4
0	0	5	5
0	0	6	6
0	0	7	7
0	0	8	8
0	0	9	9
0	0	A	10
0	0	B	11
0	0	C	12
0	0	D	13
0	0	E	14
0	0	F	15
0	1	0	16
0	1	1	17
0	1	2	18
0	1	3	19
0	1	4	20
0	1	5	21
0	1	6	22
0	1	7	23
0	1	8	24
0	1	9	25
0	1	A	26
0	1	B	27
0	1	C	28
0	1	D	29
0	1	E	30
0	1	F	31
0	2	0	32
0	2	1	33
...	...	...	...
0	F	F	255
1	0	0	256
1	0	1	257
...	...	...	...
1	F	F	511
2	0	0	512
2	0	1	513
...	...	...	...
F	F	D	4 093
F	F	E	4 094
F	F	F	4 095

Première remarque: 10₁₀ = A₁₆, 11₁₀ = B₁₆, 12₁₀ = C₁₆, 13₁₀ = D₁₆, 14₁₀ = E₁₆, 15₁₀ = F₁₆ (le 10 en indice signifie que le nombre est en base 10, le 16 en indice signifie que le nombre est en base 16).

Deuxième remarque:

001₁₆ vaut 1₁₀,
010₁₆ vaut 16₁₀,
100₁₆ vaut 256₁₀.

On peut continuer indéfiniment, les chiffres hexadécimaux qui composent le nombre correspondent, en décimal, à des puissances de 16. On en déduit une formule mathématique pour décoder un nombre en base 16, c'est à dire le convertir en décimal:

dn ... d1 d0₁₆ = (d0 × 16⁰ + d1 × 16¹ + ... + dn × 16ⁿ)₁₀

Exemples:

A 08₁₆ = (8 × 16⁰ + 0 × 16¹ + 10 × 16²)₁₀ = (8 × 1 + 0 × 16 + 10 × 256)₁₀ = (8 + 0 + 2 560)₁₀ = 2 568₁₀
8 0F 4D₁₆ = (13 × 16⁰ + 4 × 16¹ + 15 × 16² + 0 × 16³ + 8 × 16⁴ = (13 × 1 + 4 × 16 + 15 × 256 + 0 × 4 096 + 8 × 65 536)₁₀ = (13 + 64 + 3 840 + 0 + 524 288)₁₀ = 528 205₁₀

Exercices de décodage de l'hexadécimal:

Décodez les nombres en base 16 suivants:

D A9₁₆ =

( × 16 + × 16 + × 16)₁₀ =

( × + × + × )₁₀ =

( + + )₁₀ =

₁₀
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5 CA 7E₁₆ =

( × 16 + × 16 + × 16 + × 16 + × 16)₁₀ =

( × + × + × + × + × )₁₀ =

( + + + + )₁₀ =

₁₀
Ajoutez, si besoin, un commentaire:

B 8D F3₁₆ =

( × 16 + × 16 + × 16 + × 16 + × 16)₁₀ =

( × + × + × + × + × )₁₀ =

( + + + + )₁₀ =

₁₀
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Complétez le tableau ci-dessous en comptant, à partir de 0 et en tenant compte des parties omises (lignes contenant des pointillés), avec un nombre à 5 chiffres et en base 16:

hexadécimal					décimal


...	...	...	...	...	...
0	0	0	1	1	17

...	...	...	...	...	...
0	0	0	2	F


...	...	...	...	...	...
0	0	1	9	D



...	...	...	...	...	...
C	9	F	F	B





...	...	...	...	...	...
D	F	F	F	E


...	...	...	...	...	...
F	F	F	F	F

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Codage en hexadécimal

Pour le codage en hexadécimal on utilise, comme pour le codage en binaire, la méthode de la division Euclidienne, ou celle de la décomposition sur des puissances de 16.

Les deux méthodes pour le codage en hexadécimal étant identiques à celles pour le codage en binaire, elles sont présentées uniquement avec un exemple qui illustre leur utilisation.

Codes des couleurs en hexadécimal pour le HTML

Méthode de la division Euclidienne:

Codage en hexadécimal de 183 038₁₀:

183 038	16
14	11 439	16
	15	714	16
		10	44	16
			12	2

Comme 12₁₀ = C₁₆, 10₁₀ = A₁₆, 15₁₀ = F₁₆, et 14₁₀ = E₁₆. Donc 183 038₁₀ = 2 CA FE₁₆.

Explications:

En utilisant la calculatrice:

183 038 ÷ 16 = 11 439,875. Le quotient est 11 439, et le reste est 183 038 - 11 439 × 16 = 14.
11 439 ÷ 16 = 714,9375. Le quotient est 714, et le reste est 11 439 - 714 × 16 = 15.
714 ÷ 16 = 44,625. Le quotient est 44, et le reste est 714 - 44 × 16 = 10.
44 ÷ 16 = 2,75. Le quotient est 2, et le reste est 44 - 2 × 16 = 12.

Méthode de la décomposition sur des puissances de 16:

Codage en hexadécimal de 901 678₁₀:

La puissance de 16 qui est inférieur à 901 678₁₀ et qui s'en approche le plus est 16⁴ = 65 536.

	16⁴ = 65 536	16³ = 4 096	16² = 256	16¹ = 16	16⁰ = 1
Codage en hexadécimal:	13	12	2	2	14
Reste:	49710	558	46	14

Comme 13₁₀ = D₁₆, 12₁₀ = C₁₆, et 14₁₀ = E₁₆. Donc 901 678₁₀ = D C2 2E₁₆.

Explications:

En utilisant la calculatrice:

901 678 ÷ 65 536 = ‭13,758514404296875‬. Le quotient est 13, et le reste est ‭901 678 - 13‬ × 65 536 = 49 710.
49 710 ÷ 4 096 = ‭‭12,13623046875‬. Le quotient est 12, et le reste est ‭49 710 - 12 × 4 096 = 558.
558 ÷ 256 = ‭2,1796875‬. Le quotient est 2, et le reste est 558 - 2 × 256 = 46.
46 ÷ 16 = ‭2,875‬. Le quotient est 2, et le reste est 46 - 2 × 16 = 14.

Exercices de codage en hexadécimal:

Coder en hexadécimal, avec la méthode de la division Euclidienne, les nombres décimaux ci-dessous:

Codez en hexadécimal 1 955₁₀:

1 955 16

16

Donc 1 955₁₀ = ₁₆.

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Codez en hexadécimal 44 252‬₁₀:

44 252 16

16

16

Donc 44 252‬₁₀ = ₁₆.

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Codez en hexadécimal 722 270₁₀:

722 270	16
		16
			16
				16

Donc 722 270₁₀ = ₁₆.

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Coder en hexadécimal, avec la méthode de la décomposition sur des puissances de 16, les nombres décimaux ci-dessous:

Codez en hexadécimal 48 830₁₀:

16³ = 4096 16² = 256 16¹ = 16 16⁰ = 1

Codage en hexadécimal:

Reste:

Donc 48 830₁₀ = ₁₆.

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Codez en hexadécimal 789 989₁₀:

16⁴ =
65 536 16³ = 4096 16² = 256 16¹ = 16 16⁰ = 1

Codage en hexadécimal:

Reste:

Donc 789 989₁₀ = ₁₆.

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Codez en hexadécimal 195 829 785‬₁₀:

16⁶ = ‭
16 777 216‬ 16⁵ = ‭
1 048 576‬

Codage en hexadécimal:

Reste:

16⁴ =
65 536 16³ = 4096 16² = 256 16¹ = 16 16⁰ = 1

Codage en hexadécimal:

Reste:

Donc 195 829 785‬₁₀ = ₁₆.

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Transcodage

Pour programmer un processeur, il faut utiliser des codes binaires qui correspondent à des instructions élémentaires. Il existe principalement deux types de jeux d'instruction dans les processeurs: CISC et RISC.

Les jeux d'instruction CISC (Complex Instruction Set Computeur) correspondent aux processeurs de nos ordinateurs, qui ont un vaste nombre d'instruction permettant d'effectuer un grand nombre de taches. Les jeux d'instruction RISC (Reduced Instruction Set Computer) correspondent aux processeurs de nos téléphones portables, qui, dans le contexte d'un matériel portable, ont un petit nombre d'instruction.

Pour comprendre comment on transcode un nombre, du binaire vers l'hexadécimal ou de l'hexadécimal vers le binaire, nous allons compter en décimal, binaire et hexadécimal de 0 à 15:

décimal	binaire				hexadécimal
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1
2	0	0	1	0	2
3	0	0	1	1	3
4	0	1	0	0	4
5	0	1	0	1	5
6	0	1	1	0	6
7	0	1	1	1	7
8	1	0	0	0	8
9	1	0	0	1	9
10	1	0	1	0	A
11	1	0	1	1	B
12	1	1	0	0	C
13	1	1	0	1	D
14	1	1	1	0	E
15	1	1	1	1	F

On remarque que le plus grand nombre avec quatre chiffres binaires, 1111₂, correspond au plus grand nombre à un chiffre hexadécimal, qui est F₁₆.

Définitions:

On appelle un paquet de quatre chiffres binaires un "quartet", ou un "nibble" en anglais.

Transcodage binaire vers hexadécimal

Pour transcoder un nombre binaire en hexadécimal, il faut le décomposer en quartets, en partant du chiffre binaire le plus à droite et en allant vers la gauche, et associer à chacun d'eux le chiffre hexadécimal qui correspond.

Exemple:

On va transcoder en hexadécimal 10 1011 1101 1001 0011₂:

Quartets:	10	1011	1101	1001	0011
Chiffres en décimal:	2	11	13	9	3
Chiffres en hexadécimal:	2	B	D	9	3

Donc 10 1011 1101 1001 0011₂ = 2 BD 93₁₆.

Transcodage hexadécimal vers binaire

Pour transcoder un nombre hexadécimal en binaire, il faut associer à chaque chiffre du nombre le quartet qui correspond.

Exemple:

On va transcoder en binaire 4 C8 1E₁₆:

Chiffres en hexadécimal:	4	C	8	1	E
Chiffres en décimal:	4	12	8	1	14
Quartets:	100	1100	1000	0001	1110

Donc 4 C8 1E₁₆ = 100 1100 1000 0001 1110₂.

Exercices sur le transcodage:

Transcodez en hexadécimal 1000 1001 1010 1100 1110₂:

Quartets:

Chiffres en décimal:

Chiffres en hexadécimal:

Donc 1000 1001 1010 1100 1110₂ = ₁₆.

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Transcodez en hexadécimal 111 1010 0101 1011 1111 0000 1101₂:

Quartets:

Chiffres en décimal:

Chiffres en hexadécimal:

Quartets:

Chiffres en décimal:

Chiffres en hexadécimal:

Donc 111 1010 0101 1011 1111 0000 1101₂ = ₁₆.

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Transcodez en binaire C 8E A4₁₆:

Chiffres en hexadécimal:

Chiffres en décimal:

Quartets:

Donc C 8E A4₁₆ = ₂.

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Transcodez en binaire 5 CA FE 0B₁₆:

Chiffres en hexadécimal:

Chiffres en décimal:

Quartets:

Chiffres en hexadécimal:

Chiffres en décimal:

Quartets:

Donc 5 CA FE 0B₁₆ = ₂.

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Jeux en ligne

Vous pouvez tester vos connaissances avec les jeux en ligne suivants:

Binary-Hex Challenge.

(cc) j. ahmad - Education Nationale - 2020

	16³ = 4096	16² = 256	16¹ = 16	16⁰ = 1
Codage en hexadécimal:
Reste:

	16⁴ = 65 536	16³ = 4096	16² = 256	16¹ = 16	16⁰ = 1
Codage en hexadécimal:
Reste:

	16⁶ = ‭ 16 777 216‬	16⁵ = ‭ 1 048 576‬
Codage en hexadécimal:
Reste:

1 955	16
		16

44 252	16
		16
			16